Co jest prostsze 1 czy 1/2? Chyba 1/2. Foton to spin 1, neutrino to spin 1/2. Stany cząstki o spinie 1 opisujemy przez wektory w trójwymiarowej przestrzeni lub w czterowymiarowej czasoprzestrzeni. Trójki lub czwórki liczb. Stany cząstki o spinie 1/2 opisujemy przez wektory w dwuwymiarowej przestrzeni – wektory kolumienki liczn zespolonych. Dwa jest prostsze niż trzy czy cztery.
W poprzedniej notce zjamowaliśmy się fotonem, wektorami opisującymi stany fotonu o określonej polaryzacji kołowej – wektory własne operatora skrętności. W szczególności rozważaliśmy macierz W1 z pracy Białynickich:
Kolumny tej macierzy są unormowanymi wektorami własnymi operatora skrętności ( przy tym druga kolumna w tej pracy jest źle unormowana, winna być pomnożona prze pierwiastek z 2). Lepiej jednak powiedzieć: są jedną z możliwych postaci tych wektorów własnych. I w tym jest pies pogrzebany. Stąd, z nieprzestudiowania tego faktu, że to tylko “jedna z postaci”, wzięła się dyskusja pod poprzednią notką, dyskusja o tym czy jest tam jakaś osobliwość wynikająca z zera w mianowniku, czy takiej nie ma.
Można liczyć te wektory takim czy innym programem komputerowym i różne programy proponują inną postać rozwiązań. Lepiej jednak zrozumieć istotę problemu zająwszy się neutrinem, to reprezentowane jest macierz W1/2. I tym się teraz zajmiemy w szczegółach. Nie musimy uciekać się do programów, wszystko możemy wyliczyć sami na kartce papieru. I przy tym rozumieć co się dzieje w każdym kroku.
Zacznijmy od operatora skrętności dla neutrina. Ma tę samą postać co ten dla fotonu, tyle, że zmiast 3×3 macierzy Sigma mamy teraz 2×2 macierze sigma – standardowe macierze Pauliego. Wystarczy, że go rozważymy na sferze jednostkowej w przestrzeni pędów. Przyjmujemy zatem, że p1,p2,p3 są składowymi wektora na sferze jednostkowej, zatem p1^2+p2^2+p3^2=1. Operator skrętności Lambda dany jest wtedy przez macierz p1 sigma1+p2*sigma2+p3*sigma3, to jest
Lambda = ((p3, p1-ip2), (p1+ip2, -p3))
Jest to macierz hermitowska, jej kwadrat, jak łatwo sprawdzić, jest macierzą jednostkową, zatem wartości własne muszą być +1 lub -1. Ślad tej macierzy to suma wartości własnych i jest zerem. Stąd jedna wartość własna to +1, druga -1.
Chcemy teraz znaleźć wektory własne. Zajmijmy się tym należącym do wartości własnej +1. Dla -1 będzie podobnie. Zauważmy przy tym, że mamy znaleźć wektor własny dla każdego pędu, czyli, przy naszym założeniu, dla każdego punktu na sferze jednostkowej. Czy da się to zrobić w sposób ciągły? Tak by wektor własny był ciagłą funkcją punktu na sferze? Taki jest nasz problem i chcemy znaleźć odpowiedź na to pytanie.
Wektory własne to kolumienki dwóch liczb zespolonych u=(u1,u2). Równanie na wektor własny do wartości własnej +1 ma postać:
Lambda u = 1 u
Podstawiając postać Lambdy i postać u dostajemy układ równań:
p3 u1 +(p1-ip2) u2 =u1
(p1-ip2)u1-p3 u2 = u2
lub
(p1-ip2)u1=(1-p3)u2
(p1+ip2)u1=(1+p3)u2
Jeśli p3 jest różne od 1, możemy skorzystać z pierwszego równania i wyrazić u2 przez u1. Ta metoda działa wszędzie z wyjątkiem bieguna północnego sfery.
Jeśli p3 jest różne od -1, wtedy możemy skorzystać z drugiego równania, wszędzie poza biegunem południowym.
Czytelnik może sparwdzić, że poza tymi dwoma punktami pierwsze i drugie równanie są ze sobą zgodne. To nie są wtedy dwa różne równania, tylko jedno i to samo równanie zapisane na dwa różne sposoby.
Gdy chcemy rozwiązanie z pierwszego równania rozszerzyć na całą sferę, dostajemy nieciągłość na biegunie północnym. Gdy chcemy rozwiązanie z drugiego równania rozszerzyć na całą sferę, dostajemy nieciągłość na biegunie południowym.
Matematyk powie: mamy wiązkę zespoloną liniową wiązkę nad sferą i ta wiązka ma nietrywialną topologię. Tak ja sfera ma innaą (globalną) topologię niż płaszcyzna.
I o tym w kolejnej notce.
Zgłoś naruszenie/Błąd
Pozytywnie
Neutralnie 
Negatywnie
Lubię to!
Super
Ekscytujący 
Ciekawy
Smieszny
Smutny
Wściekły
Przerażony
Szokujący
Wzruszający
Rozczarowany
Zaskoczony
Prawda
Manipulacja
Fake news
Oryginalne źródło ZOBACZ
Dodaj kanał RSS
Musisz być zalogowanym aby zaproponować nowy kanal RSS